Hallo,
1. Also ich brauche irgendeinen Webspace-Anbieter (z.B. http://all-inkl.com), über den ich am besten auch gleich eine Domain registriere. Da gibt es kostenlose und welche, die richtig teuer sind. Als jemand mit kleinem Blog (unter 100 Besucher pro Tag) und wenig benötigtem Webspace ist da der Hauptunterschied, dass man bei den kostenpflichtigen seine Wunschdomain ohne nervigen ".xyz.com" bekommt, oder?
Die kostenpflichtigen Webspace-Anbieter zeichnen sich dadurch aus, dass du dort deine Wunschdomain abc.de nutzen kannst und keine Werbeeinblendungen auf deiner Seite durch den Anbieter erfolgen.
2. Es gibt viele Threads über "welcher Anbieter ist der beste" - aber immer mit zig verschiedenen Empfehlungen - ist es so, dass man eigentlich mit keinem der "größeren" etwas falsch macht (z.B. Spacequadrat).
Da es so viele Anbieter gibt, gibt es auch verschiedenste Empfehlungen. Der einzige Unterschied ist meist eigentlichd er Preis und der Support. Den einzigen Anbieter, den du nicht nehmen solltest, ist STRATO. WordPress läuft darauf so dermaßen langsam, das ist nicht mehr feierlich...
3. Neben PHP und MYSQL, auf was sollte ich noch achten?
Du solltest schauen, ob es ein Trafficlimit gibt und wie viele Kunden es pro Server gibt.
4. Wenn ich mal einen Hoster habe, dann übertrage ich meine Wordpressdateien einfach per FTP, und habe dann den gleichen Dashboard wie bei Wordpress.com, oder? Der einzige Unterschied ist da, dass ich mehr Themes/Widgets etc. installieren kann, oder?
Genau, du lädst alles dort hoch, installierst WordPress und kannst dich mit Themes, Plugins und Widgets austoben 
5. Gibt es sonst noch etwas, dass ein Anfänger über die Installation wissen muss? Webspace Anbieter wählen - Domain wählen - Daten übertragen - Blog designen... irgendwas vergessen, oder ist irgendetwas davon komplizierter als ich mir das gerade vorstelle?
Nein, das ist eigentlich alles recht einfach strukturiert 
6. Meine Eltern haben seit 10 Jahren ein (unbenutzte) Webseite bei einem Anbieter - soweit ich das da lesen konnte, kann man auch keine weitere Domain registrieren. Ist es problemlos möglich, zusammen einen Anbieter zu wählen (der 2 oder mehr Domains anbietet) und sich das zu teilen? Können sie ihre Domain problemlos mitnehmen? Was ist mit den email-Adressen? Muss man da sonst irgendetwas beachten?
Deine Eltern müssen ihre Domain kündigen (am besten via KK-Antrag), dann ist die Domain für einen Providerwechsel vorbereitet und kann dann bei einem neuen Anbieter bestellt werden. E-Mail-Adressen müssen neu eingerichtet werden. Bei POP3-Postfächern müssen dann entsprechend die POP3- und SMTP-Einstellungen angepasst werden.