Anfängerfragen

Um den Zugriff auf Deine Baustelle zu unterbinden, kannst Du die Wartungsseite benutzen, hier recht simpel über ein Plugin machbar
https://de.wordpress.org/plugins/wp-maintenance-mode/

Nein, es sei denn durch das Plugin werden Daten des Nutzers aufgezeichnet oder Logindaten von anderen Webseiten verwendet (Jetpack, Facebook, Twitter, Google, etc...)
In dem Fall musst Du im Datenschutz darauf hinweisen, dafür gibt es aber recht gute Texte bei https://www.e-recht24.de/muster-datenschutzerklaerung.html

Installiere WP in einen anderen Ordner als deine jetzige Website installiert ist.
Wenn deine Website fertig ist, änderst du bei deinem Anbieter das Verzeichnis der Website Installation und gut ist. Bietet er sowas nicht an, kopierst du es rüber und passt die Datenbanken an (Anleitungen gibt es hier genug).

Denn der riesige Nachteil dieses Wartungsmodus ist, das deine Website in dieser Zeit nicht erreichbar ist und du sie selber auch nicht anschauen kannst um zu sehen was du da gerade machst

Und wie geht das? Das letzte Wartungstool das ich genutzt habe hat auch mir gesagt die Seite sei noch nicht online.
Woher soll der Wartungsmodus wissen das ich derjenige bin der die Seite gestaltet und mich drauf lässt?
Ich habe noch nie ein Wartungstool gesehen wo ich eingeben konnte das User von IP xy zugreifen dürfen oder mit dem Browser xy zugreifen dürfen. Woher soll das Tool also wissen das ich das bin?

Benzli: Du meldest Dich bei den meisten Plugins wie in deren Doku beschrieben z.B. einfach als WordPress-Benutzer an, dann weiss das Tool, dass Du das bist. Oder Du verwendest ein Plugin mit extra Front-End Passwort, z.B. Password Protected, dann kann auch der Kunde ab und zu mal das Frontend anschauen, ohne WordPress-Login und ohne dass der Rest der Welt das kann.

Aber genau das ist doch das Problem. Wenn ich mich zuerst in WP anmelde, denn habe ich die "Bearbeiten" Ansicht.
Wenn ich eine meiner Seiten ansehe dann habe ich eine Kopfzeile mit Schaltflächen von WP. Das nimmt mir dann einen Teil meines Bildschirms.
Doch kann dies durchaus stören, je nachdem was ich auf meiner Seite habe oder wie ich sie anpassen möchte.
Ich merke schon bei meinem eigenen PC das die Seite komplett anders aussieht wenn ich sie auf meinem 24 Zoll Monitor öffne oder auf dem 17 Zoll Monitor.
Und wenn ich auf der Startseite ein Bild genau in der grösse anpassen möchte, so als Beispiel, geht das dann auch nicht.

Und wie gesagt, ich habe damals als es mir auch geraten wurde drei dieser Tools getestet und bei keinem konnte ich sagen das wenn ich dann eine Stunde später die Seite von meinem Tablet öffne, das ich das bin. Und wenn ich dann ein paar Minuten später dasselbe vom Smartphone aus mache, auch ich das bin. Oder wenn ich dann am nächsten Tag einen Geschäftsrechner nehme um einen anderen PC mit anderem Browser zu testen......
Und spätestens auf dem mir fremden Geschäftsrechner möchte ich mich nur ungerne mit meinen WP Daten einloggen

Die "Kopfzeile mit Schaltflächen von WP" kannst Du im Profil des Benutzer-Accounts abschalten.

Die unterschiedliche Darstellung auf verschiedenen Monitoren dürfte das sog "responsive" Design des Themes sein.

Für das "spätere Ansehen" benutze ein Plugin wie z.B. Password Protected, wie oben beschrieben.