Bzgl. "Public Queryable / Öffentlich" wüde ich lt. der Vorgabe "ohne dass die Besucher das sehen" eher "deaktiviert" setzen, ggf. nochmal in der o.g. WordPress Dokumentation zu den einzelnen Parametern nachlesen. "Show in nav menus / In Navigations-Menüs anzeigen" könnte in dem Fall auch auf "deaktiviert", das betrifft die Einbindung auf der "Design > Menüs" Seite.
Besucher könnten sonst theoretisch die Zuordnungen über z.B. deineseite.de/taxtest/gemeinnuetzig/ auch von aussen sehen.
Die extra Taxonomies sind in der Regel nicht verlinkt, wenn man sie nirgends ins Theme einfügt, aber manche SEO-Plugins schreiben so public Sachen dann standardmässig in eine XML-Sitemap (wenn man das dort nicht explizit abschaltet) und so landet das dann ungewollt in der Öffentlichkeit, daher lieber alle Parameter sauber setzen, dann beachten das auch die SEO-Plugins automatisch und es kann sowas nicht passieren.
Oder ist "Public Queryable / Öffentlich" auf "aktiviert" für Gutenberg nötig? Hoffe ja, dass nicht...