E-Mail bei änderung der User Role

ich möchte gerne, dass wenn die rolle eines benutzers (wenn er als zum Beispiel zum Admin ernannt wird) geändert wird, der Benutzer eine E-mail erhält.

Das habe ich wie folgt gelöst:

function user_role_update( $user_id, $new_role ) {
        $site_url = get_bloginfo('wpurl');
        $user_info = get_userdata( $user_id );
        $to = $user_info->user_email;
        $subject = "Message";
        $message = "Hallo " .$user_info->display_name . " Message";
        wp_mail($to, $subject, $message);
}
add_action( 'set_user_role', 'user_role_update', 10, 2);

Das ganze in der functions.php des scripts.

Nunmehr möchte ich aber, dass dies Mails abhängig von der Rolle sind, in die geändert wird.

Also dass zum Beispiel eine E-Mail verschickt wird wenn jemand zum Admin ernannt wird mit einem anderen Text als wenn er Autor wird !

Weiss jemand wie ich mein Scripüt dazu erweitern muss ?