So, kleine Rückmeldung.
Das Tool "search-and-replace-for-wordpress-databases" hat (jedenfalls bei meiner Multisite) bei der Umstellung von http auf https ganze Arbeit geleistet.
Danke an mensmaimus für den Tipp.
Alle Daten wurden störungsfrei geändert. Auch mit Plugins und Widgets gab es keinerlei Probleme.
Lediglich die mit "Shortcodes Ultimate" eingebundenen Videos laufen nicht mehr. Als Iframe einbinden funktioniert aber.
Was ich noch nicht gelöst habe, ist das hochladen neuer Fotos, da sagt die Mediathek immer noch http :cry: