Duplicator benötigt die korrekten Datenbank Zugangsdaten (Hostname, Datenbankname, Username, Passwort) so wie im Hosting Backend eingerichtet. Dann wird die Datenbank erkannt und im Verlauf auch von Duplicator korrekt in wp-config.php eingetragen.
Der Hostname ist bei Strato in den allermeisten Hostingpaketen wie auch Strato Backend angegegen [plain]rdbms.strato.de[/plain], nicht localhost, evtl. liegt hier das Problem?
Wenn es schon mit Duplicator scheitert, ist ein "zu Fuß" Weg allerhöchstwahrscheinlich eher nicht die passende Lösung.