Es wird lt. Browser Konsole irgendein Plugin verwendet, das den Zugriff auf die WordPress REST API für Besucher des Websites verbietet.
{"code":"rest_cannot_access","message":"DRA: Nur authentifizierte Benutzer k\u00f6nnen auf die REST-API zugreifen.","data":{"status":401}}
Contact Form 7 verwendet einen Endpoint in der REST API zum Versenden des Formulars.
/wp-json/contact-form-7/v1/contact-forms/...
Es wurden also offenbar noch nicht die Hinweise des Plugin Autors abgearbeitet... 
Dass der Test funktioniert hat, kann z.B. daran liegen, dass Du in WordPress angemeldet warst und daher das o.g. Plugin den Zugriff ggf. nicht verboten hat oder es (noch) nicht aktiv war...
Ergänzung für Mitleser: Jetzt wurde das o.g. Plugin deaktiviert und das Formular funktioniert.