Generell: Deaktiviere alle Cache und Optimierungs-Plugins, um hier Wechselwirkungen auszuschliessen, derzeit mind. aktiv: Cache Enabler by KeyCDN
Das Senden des Formulars erzeugt aktuell einen Internal Server Error 500, der als Rückgabetext eine "401 rest_API_cannot_access" Nachricht enthält.
Das kann unter Umständen mit dem folgenden extern eingebundenen Script zu tun haben:
Finde heraus woher dieses Script kommt und deaktiviere das.
Es kann auch sein, dass irgendein Sicherheits-Plugin bzgl. REST API dazwischenfunkt, deaktiviere auch alles, was in diese Richtung verwendet wird. Contact Form 7 verschickt die Inhalte über seine eigene REST API Schnittstelle.