Normalerweise (bei manueller Installation) würde man bei Deinem Änderungswunsch a) die neue Domain auf den bereits bestehenden WordPress Ordner zeigen lassen und dann b) in der bestehenden Datenbank die alte Domain durch die neue Domain ersetzen, z.B. mit einem Plugin wie Better Search Replace.
Das dürfte generell auch hier funktionieren, aber es kann sein, dass die Angaben usw. im WordPress & Co. Bereich von Strato dann nicht mehr stimmen bzw. funktionieren und weiterhin auf die alte Domain zeigen.
Vermutlich wäre es bei dem Szenario mit nur einer verfügbaren Datenbank am besten, die automatische Installation mit einem Klon- bzw. Migrationsplugin wie Duplicator wie bei einem normalen Umzug zu sichern, dann die automatische Strato Installation komplett zu löschen und damit die internen Verweise von Strato aufzuheben, damit wird dann auch die Datenbank wieder frei, und dann die gesicherte Installation in einem neuen Ordner für die neue Domain einzuspielen.
Für jemanden, der sich mit WordPress etwas auskennt, sollte das relativ einfach zu verstehen und zu erledigen sein, falls Du eher ein "Anfänger" bist, suche Dir am besten jemanden in Deinem direkten Umfeld, der dich dabei direkt unterstützen kann.