Danke für die schnelle Antwort.
Der Webspace ist nicht voll. Ansonsten wäre ein Upload über die Mediathek von WP auch nicht erfolgreich.
Dank des Links habe ich aber nun eine vorläufige Lösung gefunden.
Wenn ich ein Downgrade von NextGen Gallary auf Version 1.9.13 durchführe funktioniert der Bilderupload auch wieder.
Mal schauen was es in der alten Version dann wieder für Bugs auftauchen.