Herzlichen Dank für die Antwort.
Ich habe bei mir "Avira" installiert.
Deinem Hinweis folgend, habe ich dort kurzfristig einmal den "Browser-Schutz" abgeschaltet. Das ergab jedoch keine Änderung der Verhaltensweise beim Versuch eine Datei hochzuladen.
Für mich sieht es fast so aus, als ob das dem Upload zugrunde liegende Script zu schnell ausgeführt wird. Denn das Auswahlfenster für Dateien ist ja ganz kurzfristig zu sehen.
Mit dem seit vielen Jahren installierten CMS Pixelpost klappt der Upload auf meine aktuelle Homepage problemlos. Allerdings öffnet sich dort auch kein Scriptfenster, sondern alles, Texteingabe und Bildupload wird auf einer Seite gemacht.
Mal sehen, ob noch jemand einen Tipp hat...