Ich habe jetzt gelöst, wie ich mein Forum verberge, sodass nur angemeldete Nutzer es sehen können.
1. Das Forum auf "Privat" setzen.
2. Mit dem Plugin "User Role Editor" die capabilities der Forum Participants so einstellen, dass sie private Foren lesen können.
Dabei ist mir aufgefallen, dass die Forum Participants viel zu viele Rechte haben, fast so viele wie ein Admin. Das kann man doch schon fast als Sicherheitslücke bezeichnen. Ich werde mich mal an die Entwicker von bbPress wenden.