Danke für den Hinweis!
Ich kann mich zwar nicht erinnern, irgendetwas an der htaccess geändert zu haben (das letzte Mal vor über einem Jahr), aber daran lag es.
Hier die Antwort vom Provider:
Im Unterordner /wp-admin befand sich eine ".htaccess" Datei mit der Zeile
AddType application/x-httpd-php43 .php
welche ich auskommentiert habe und folgende Zeile hinzugefügt habe
AddType application/x-httpd-php .php .htm
Jetzt funktioniert's wieder.