Die im ersten Screenshot sichtbare ".. not allowed .." Seite ist lt. dem Link in der URL-Zeile eine Seite eines "Akeeba Kickstart" Plugins o.ä. und nicht der WordPress Update Vorgang, den man üblicherweise über den blauen Button "Update Now" im zweiten Screenshot erreicht.
Würde vorschlagen, dieses Plugin zu deaktivieren bzw. die Person anzusprechen, die den Website eingerichtet hat, die sollte helfen können.
Die Richtung war richtig. Ich musste das Plugin aktivieren und neu konfigurieren. Das Update hat jetzt funktioniert. Aller besten Dank für die Hilfe.