Meine erste Vermutung wäre ein Cache-Plugin gewesen, aber ich sehe im Quelltext nicht die üblichen Kommentare. Nutzt Du etwas wie "WP SuperCache"?
Wenn es das nicht ist (wovon ich jetzt mal ausgehe), könnte der neue Server vielleicht falsche HTTP-Header mitschicken. Ich habe mir die aber mal angeschaut und muss sagen, dass ich da nichts Außergewöhnliches bemerke.
Bist Du also sicher, dass das nicht das normale Browserverhalten ist, schon aufgerufene Seiten aus dem Cache zu nehmen?! Wenn Du auf einer betroffenen Seite Strg+F5 drückst (=Neuladen ohne Cache), siehst Du dann den aktuellen Stand? Wenn Du das testest solltest Du zudem möglichst nicht eingeloggt sein. Falls es doch irgendwie an WP liegt, sehen ja eingeloggte Nutzer ggf. andere Ansichten als normale Besucher.